☛ *** Dans un repère - Lieux géométriques

Énoncé
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\).
On considère les points \(\text{A}(-1~;1)\) et \(\text{B}(0~;-2)\).
Soit \(\text{M}(x~;y)\) un point du plan.
Soit \((\mathcal{E})\) des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{AM}=\text{BM}\).

1. Calculer les coordonnées de \(\text{I}\), milieu du segment \([\text{AB}]\). Justifier que \(\text{I}\) appartient à l'ensemble \((\mathcal{E})\).
2. Comment caractériser géométriquement l'ensemble \((\mathcal{E})\) ?
3. Démontrer que \(\text{AM}^2=x^2+y^2+2x-2y+2\).
4. Calculer \(\text{BM}^2\)en fonction de \(x\) et \(y\).
5. En déduire qu'une équation de  \((\mathcal{E})\) est \(2x-6y-2=0\).
6. Soit \(\text{C}(-2;1)\) et \(\text{D}(3;-1)\). Déterminer une équation de la médiatrice du segment \([\text{CD}]\),

Solution

1. \(\text{I}\) est le milieu du segment \([\text{AB}]\), donc :
 \(x_\text{I}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}\) et \(y_\text{I}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}\), d'où \(x_\text{I}=\dfrac{-1+0}{2} = -\dfrac{1}{2}\) et \(x_\text{I}=\dfrac{1-2}{2} = -\dfrac{1}{2}\).
Ainsi \(\text{I}\) a pour coordonnées \(\left(-\dfrac{1}{2} ~; -\dfrac{1}{2}\right)\).
De plus, \(\text{I}\) étant le milieu du segment \([\text{AB}]\), on a \(\text{AI}=\text{BI}\), d'où \(\text{I}\) appartient à l'ensemble \((\mathcal{E})\).

2. \((\mathcal{E})\) est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{AM}=\text{BM}\), c'est-à-dire l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan équidistants de \(\text{A}\) et \(\text{B}\). L'ensemble \((\mathcal{E})\) est donc la médiatrice du segment \([\text{AB}]\).

3. \(\text{AM}^2=\sqrt{\left(x_\text{M}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{M}-y_\text{A}\right)^2}^2 = (x-(-1))^2+(y-1)^2 = (x+1)^2+(y-1)^2\).
On utilise les identités remarquables :
\((x+1)^2=x^2+2x+1\) et \((y-1)^2=y^2-2y+1\).
D'où \(\text{AM}^2=x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2+y^2+2x-2y+2\).

4. \(\text{BM}^2=\sqrt{\left(x_\text{M}-x_\text{B}\right)^2+\left(y_\text{M}-y_\text{B}\right)^2}^2 = (x-0)^2+(y-(-2))^2 = x^2+(y+2)^2\). En développant avec la première identité remarquable, on obtient :
\((y+2)^2=y^2+2\times y \times 2+2^2 = y^2+4y+4\).
D'où \(\text{BM}^2=x^2+y^2+4y+4\).

5. \((\mathcal{E})\) est l'ensemble des points \(\text{M}\) du plan tels que \(\text{AM}=\text{BM}\). 
\(\text{AM}\) et \(\text{BM}\) sont des longueurs donc on a : 
\(\text{AM}=\text{BM}\) si et seulement si \(\text{AM}^2=\text{BM}^2\)
\(\text{AM}=\text{BM}\) si et seulement si \(x^2+y^2+2x-2y+2=x^2+y^2+4y+4\)
\(\text{AM}=\text{BM}\) si et seulement si \(x^2+y^2+2x-2y+2-x^2-y^2-4y-4=0\)
\(\text{AM}=\text{BM}\) si et seulement si \(2x-6y-2=0\)

6. En appliquant le même raisonnement avec \(\text{CM}=\text{DM}\), une équation de la médiatrice de \([\text{CD}]\) est \(10x-4y-5=0\).